Bloch-Kato猜想、分解域与一次上同调的生成

著名的Bloch-Kato猜想表明，对于包含本原$p$次单位根的域$F$，绝对Galois群$G_F$的$\mathbb{F}_p$系数上同调环由一次元素生成。我们研究了具有此性质的其他群，并刻画了所有这样的有限群。限制在$p$-群的情形，我们的工作回答了Quadrelli、Snopce和Vanacci在2022年提出的一个问题。作为该计划的进一步步骤，我们研究了Bloch-Kato猜想对有限域扩张的上同调不变量的影响。反之，这些上同调不变量对细化Bloch-Kato猜想也有意义。为服务于这种细化，我们定义了有限域扩张的上同调类的分解域概念，并研究了由$p$次扩张产生的二次上同调类的最小分解域。通过显式计算超毕达哥拉斯域和$p$-刚性域的上同调环，我们说明了这种细化。最后，我们构造了上同调类及其分解域的非平凡例子，这些例子依赖于David Benson在附录中的计算。