Tate 余弦与弜象基变换提升

设 $G$ 为定义在非阿伯涯纳局域域 $F$ 上的连通红利群，残留特征为 $p$。设 $\ell$ 为与 $p$ 互异的素数。设 $E$ 为 $F$ 的一个循环Galois扩张，$[E:F]=\ell$。设 $\Pi$ 为一个有限长度的 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-表示（或 $\ell$-模块表示）的 $G(E)\rtimes {\rm Gal}(E/F)$。在此背景下，我们证明了Treumann和Venkatesh的猜想，该猜想预测Tate 余弦群 ${\widehat{H}}^i({{\rm Gal}}(E/F), \Pi)$ 是 $G(F)$ 的有限长度表示。我们讨论当 $G$ 为 ${\rm GL}_n$ 且 $\Pi$ 通过深度为零的 cuspidal 表示的基变换提升获得时，这些Tate 余弦群的显式计算。与我们之前的工作相比，本文的主要新颖之处在于我们处理 $\Pi$ 可能为非 cuspidal 的情况。我们还研究了 ${{\rm Gal}}({\mathbb{F}}_{q^\ell}/{\mathbb{F}}_q)$-Tate 余弦群作用于 ${{\rm Sp}_4}({\mathbb{F}}_{q^\ell})$ 上模 $\ell$-归约的单边缘 cuspidal 表示。