椭圆曲线在基域扩张下的纠缠

固定不同的素数 $p$ 和 $q$，并设 $E$ 为定义在数域 $K$ 上的椭圆曲线。$E$ 在 $K$ 上的 $(p,q)$-纠缠类型是群 $\operatorname{Gal}(K(E[p])\cap K(E[q])/K)$ 的同构类。该群的大小衡量了与 $E$ 相伴的模 $pq$ 伽罗瓦表示的像未能成为模 $p$ 像与模 $q$ 像的直积的程度。在本文中，我们研究了 $(p,q)$-纠缠群在不同基域上的变化。我们证明，对于整除模 $p$ 像与模 $q$ 像大小的最大公约数的每个素数 $\ell$，存在无穷多个域 $L/K$ 使得 $E$ 在 $L$ 上的纠缠为阶为 $\ell$ 的循环群。我们还对随着基域 $L$ 变化可能出现的所有 $(2,q)$-纠缠类型进行了分类。