二次域的阿贝尔 $2$-分歧挠模

对于数域 $F$ 与素数 $p$，$F$ 的极大阿贝尔 pro-$p$ 扩张（在 $p$ 外非分歧）的 Galois 群关于 $F$ 的 $\mathbb{Z}_p$-挠模，记为 $\mathcal{T}_p(F)$，是阿贝尔 $p$-分歧理论中的重要研究对象。本文研究二次域 $F=\mathbb{Q}(\sqrt{ m})$ 的群 $\mathcal{T}_2(F)=\mathcal{T}_2(m)$。首先，假设 $m>0$，我们证明 $\mathcal{T}_2(-m)$ 的一个显式 $4$-秩公式。进一步，应用该公式，我们得到虚二次域的 $\mathcal{T}_2$-群的 $4$-秩密度。其次，对奇素数 $l$，我们得到关于 $\mathcal{T}_2(\pm l)$ 与 $\mathcal{T}_2(\pm 2l)$ 阶的 $2$-可除性结果。特别地，我们发现若 $l\equiv 7\bmod{8}$，则 $\#\mathcal{T}_2(l)\equiv 2\# \mathcal{T}_2(2l)\equiv h_2(-2l)\bmod{16}$，其中 $h_2(-2l)$ 为 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2l})$ 的 $2$-类数。随后我们得到 $\mathcal{T}_2(\pm l)$ 与 $\mathcal{T}_2(\pm 2l)$ 的密度结果。最后，基于我们的密度结果与数值数据，我们提出关于当 $F$ 取遍实或虚二次域时任意素数 $p$ 的 $\mathcal{T}_p(F)$，以及当 $l$ 变化时 $\mathcal{T}_2(\pm l)$ 与 $\mathcal{T}_2(\pm 2 l)$ 的分布猜想，其精神源于 Cohen-Lenstra 启发式。我们在 $\mathcal{T}_2(l)$ 情形下的猜想与 Shanks-Sime-Washington 关于 $2$-进 $L$-函数零点分布及基本单位分布的推测密切相关。