具有Galois稳定4阶循环子群的椭圆曲线

无穷多条定义在 ${\bf Q}$ 上的椭圆曲线具有Galois稳定的4阶循环子群。这样的子群成对出现，且交于它们的2阶子群。令 $N_i(X)$ 表示定义在 ${\bf Q}$ 上、至少具有 $i$ 对Galois稳定的4阶循环子群且高度不超过 $X$ 的椭圆曲线个数。本文中我们证明 $N_1(X) = c_{1,1}X^{1/3}+c_{1,2}X^{1/6}+O(X^{0.105})$。我们还证明，当 $X\to \infty$ 时，$N_2(X)=c_{2,1}X^{1/6}+o(X^{1/12})$，其误差项的精确性质与素数定理及Riemann zeta函数在临界带中的零点相关。此处 $c_{1,1}= 0.95740\ldots$、$c_{1,2}=- 0.87125\ldots$、$c_{2,1}= 0.035515\ldots$ 为可计算的常数。最后，我们证明对 $i > 2$ 有 $N_i(X)=0$（鉴于椭圆曲线有6个4阶循环子群，对 $i>3$ 该结果是平凡的）。