$\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ 上椭圆曲线六次扭的 $L$-级数值

我们证明了对应于 $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ 上椭圆曲线 $E_{D, \alpha}: y^2=x^3+16D^2\alpha^3$（其中 $D$ 为整数且 $\alpha \in \mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$）六次扭族的 $L$-函数 $L(E_{D, \alpha}, 1)$ 中心值的一个新公式。该公式推广了 Rodriguez-Villegas 与 Zagier 关于素数 $D \equiv 1 (9)$ 的 $\mathbb{Q}$ 上三次扭结果，以及 Rosu 关于一般 $D$ 的结果。对于 $\alpha$ 为素数且所有整数 $D$，我们还证明了由 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想给出的 Tate-Shafarevich 群阶数的期望值在若干情形下为整数平方，一般情况下为整数平方乘因子 $2^{2a}3^{2b}$。