椭圆曲线的二次扭折

在本文中，我们展示了 Tian 的归纳法可以推广用于研究定义在 $\mathbb Q$ 上的某些椭圆曲线 $E$ 的二次扭折的 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想，包括全局根号为 $+1$ 和 $-1$ 的情况。特别是对于曲线 $E = X_0(49)$，我们证明了以下结果。设 $q_1, \ldots, q_r$ 为互不相同的素数，满足模 4 余 1 且在域 $F = \mathbb Q(\sqrt{-7})$ 中惰性，令 $E^{(R)}$ 为 $E$ 通过二次扩张 $\mathbb Q(\sqrt{R})/\mathbb Q$ 得到的扭折，其中 $R=q_1\ldots q_r$。我们证明 $E^{(R)}$ 的复 L-级数在 $s=1$ 处不为零，且 $E^{(R)}$ 的完整 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想成立。设 $l_0$ 为一个模 4 余 3 的素数，且使得 $7$ 在域 $K = \mathbb Q(\sqrt{-l_0})$ 中分裂。如果我们额外假设所有素数 $q_1, \ldots, q_r$ 在 $K$ 和 $F$ 中均为惰性，那么我们证明 $E$ 通过 $\mathbb Q(\sqrt{-l_0R})/\mathbb Q$ 扭折后的复 $L$-级数在 $s=1$ 处总有一个单零点。对于定义在 $\mathbb Q$ 上的其他某些椭圆曲线，也获得了类似的结果。