特殊 L 值中的平方性与扭形式的特殊 L 值

设 N 为一个素数，A 为 J_0(N) 在 Q 上与一个新形式相关联的商，使得 A 的特殊 L 值（在 s=1 处）非零。假设 A 的特殊 L 值的代数部分可被一个奇素数 q 整除，且 q 不整除 (N-1)/12 的分子。则 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想预测，A 的特殊 L 值的代数部分与 Shafarevich-Tate 群的阶的 q-adic 赋值均为正偶数。在关于 A 的扭形式的特殊 L 值的一个模 q 非零假设下，我们证明 A 的特殊 L 值的代数部分与 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想所预测的 A 的 Shafarevich-Tate 群的阶的 q-adic 赋值均为正偶数。我们还给出了 A 在二次虚域 K 上的特殊 L 值的代数部分的一个公式，该公式用特征 N 上的超奇异椭圆曲线的同构类（等价地，在 N 和无穷远处分歧的 Q 上定四元数代数的极大序的共轭类）上的自由阿贝尔群表示，这表明该代数部分是一个完全平方数，最多相差 2 的幂次以及整除 K 的判别式的素数的幂次。最后，对于一条最优椭圆曲线 E，我们给出了 E 的扭形式 E_D（由一个负基本判别式 -D 扭得）的特殊 L 值的一个公式，该公式表明，在某些假设下，此特殊 L 值是一个整数，最多相差 2 的幂次。鉴于 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的第二部分，这引出了一个令人惊讶的猜想：在某些温和的假设下，E_D 的挠子群的阶的平方整除 E_D 的 Shafarevich-Tate 群的阶与 E_D 的算术分支群的阶的乘积。