关于 Agashe 的一个猜想

设 $E/\mathbb{Q}$ 为最优椭圆曲线，$-D$ 为与 $E/\mathbb{Q}$ 的导子 $N$ 互素的负基本判别式，并设 $E^{-D}/\mathbb{Q}$ 为 $E/\mathbb{Q}$ 由 $-D$ 所作的扭曲线。Agashe 的一个猜想预测：若 $E^{-D}/\mathbb{Q}$ 解析秩为 $0$，则 $E^{-D}/\mathbb{Q}$ 的挠子群阶的平方整除 $E^{-D}/\mathbb{Q}$ 的 Shafarevich-Tate 群阶与 $E^{-D}/\mathbb{Q}$ 的算术分量群阶的乘积，至多差一个 $2$ 的幂。该猜想可视为对解析秩零椭圆曲线的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想第二部分的证据。我们在不使用最优性假设的情况下给出了一个稍更一般命题的证明。