计算椭圆曲线的 Mazur 与 Swinnerton-Dyer 临界子群

设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的最优椭圆曲线。$E$ 的临界子群由 Mazur 与 Swinnerton-Dyer 定义为 $E(\mathbb{Q})$ 中由 $E$ 的模参数化下分支点的迹生成的子群。我们证明，对于所有导子小于 1000 的秩为 2 的椭圆曲线，其临界子群是挠子群。首先，我们定义了与 $E$ 相关联的一族临界多项式，并描述了两种计算此类多项式的算法。然后，我们根据临界多项式的因式分解给出了临界子群为挠子群的充分条件。最后，得到了所有导子小于 1000 且秩为 2 的椭圆曲线的临界多项式表，并由此推导出我们的结果。