在仅假设 GRH 成立的条件下 Elkies 曲线的秩为 28
数论
2016-06-24 v1
摘要
2006 年，Elkies 给出了一条具有 28 个独立有理点的椭圆曲线。我们证明在假设 GRH 成立的条件下，该曲线的 Mordell-Weil 秩等于 28，且解析秩至多为 28。对于 Elkies 一条此前未发表的秩为 27 的曲线，我们证明了类似的结果。我们还证明在假设 GRH 成立的条件下，某些特定的椭圆曲线具有 Mordell-Weil 秩 20、21、22、23 和 24。这补充了 Jonathan Bober 的工作，后者在同时假设 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想与 GRH 成立的条件下证明了该断言。这为 Birch 和 Swinnerton-Dyer 秩猜想对 Q 上极高秩的椭圆曲线成立提供了一些新证据。我们关于 Mordell-Weil 秩的结果是通过计算与这些椭圆曲线相关联的三次域的类群的 2-秩来证明的。作为推论，我们还成功证明在假设 GRH 成立的条件下，某个特定三次域的类群具有等于 22 的 2-秩，且某个特定全实三次域的类群具有等于 20 的 2-秩。
引用
@article{arxiv.1606.07178,
title = {The Elkies Curve has Rank 28 Subject only to GRH},
author = {Zev Klagsbrun and Travis Sherman and James Weigandt},
journal= {arXiv preprint arXiv:1606.07178},
year = {2016}
}