关于椭圆曲面与高秩曲线的三讲

在过去两年中，我们改进了有理数域 Q 上椭圆曲线以及 Q(t) 上非常数椭圆曲线的若干 (Mordell-Weil) 秩记录。例如，我们找到了第一个拥有 28 个独立点 $P_i \in E(\mathbb{Q})$ 的曲线 $E/\mathbb{Q}$ 的实例（此前的记录为 24，由 R. Martin 和 W. McMillen 于 2000 年创造），以及第一个 Mordell-Weil 群同构于 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}^{18}$ 的 Q 上曲线的实例（此前含 2-挠点的曲线的秩记录为 15，由 Dujella 于 2002 年创造）。在这些讲座中，我们介绍了导致这些新记录及相关应用的部分背景、理论和计算工具。I 背景与概述：Mordell(-Weil) 和 Mazur 定理；秩问题；Neron--Shioda 和 Mestre 的方法；椭圆曲面与 Neron specialization；Q 以外的域。II 椭圆曲面与 K3 曲面：Mordell-Weil 群与 Neron-Severi 群；高 Neron-Severi 秩的 K3 曲面及其模空间；Q 上 Mordell-Weil 秩为 17 的椭圆 K3 曲面。高秩 K3 曲面及其模空间的其他一些应用。III 计算问题、技术与结果：Niemeier 格的切片；寻找和变换高秩 K3 曲面的模型；搜索良好的 specialization。椭圆曲线新秩记录总结。