具有扭群 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的椭圆曲线

在本文中，我们给出 $\mathbb{Q}(u)$ 上七条秩为 $2$ 且扭群为 $\mathbb{Z}/ 8\mathbb{Z}$ 的椭圆曲线，以及 $\mathbb{Q}(u)$ 上五条秩为 $2$ 且扭群为 $\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/ 6\mathbb{Z}$ 的椭圆曲线的细节。我们还通过参数特殊化展示 $\mathbb{Q}$ 上一些高秩曲线的具体例子。我们给出两组无限多椭圆曲线的集合，分别具有上述两种扭群且秩至少为 $3$，并由具有正秩的椭圆曲线参数化。在其中若干集合中，我们进行了关于根数分布的计算。这与 Park、Poonen、Voight 和 Wood 近期关于椭圆曲线秩界的启发式方法有关。