从 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想到 Nagao 猜想

设 $E$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，判别式为 $\Delta_E$。对于好约化素数 $p$，令 $N_p$ 为模 $p$ 的点数并记 $N_p=p+1-a_p$。1965 年，Birch 和 Swinnerton-Dyer 提出了一个猜想，该猜想蕴含 $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\log x}\sum_{\substack{p\leq x\\ p\nmid \Delta_{E}}}\frac{a_p\log p}{p}=-r+\frac{1}{2},$$ 其中 $r$ 为 $E$ 的 $L$-函数 $L_{E}(s)$ 在 $s=1$ 处零点的阶，据预测其等于 $E(\mathbb{Q})$ 的 Mordell-Weil 秩。我们证明若上述极限存在，则该极限等于 $-r+1/2$。我们还将此与 Nagao 猜想相联系。