椭圆曲线 $L$-函数的欧拉乘积渐近性

设 $E/\mathbb Q$ 为椭圆曲线，对每个素数 $p$，令 $N_p$ 表示 $E$ 模 $p$ 的点数。Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的原始版本断言：当 $x \to \infty$ 时，$\prod \limits _{p \leq x} \frac{N_p}{p} \sim C (\log x) ^{\text{rank}(E(\mathbb Q))}$。Goldfeld (1982) 表明该猜想蕴含 $L(E, s)$ 的黎曼假设以及该猜想的现代表述，即 $\text{ord}_{s=1} L(E, s)= \text{rank}(E(\mathbb Q))$。本文证明，若令 $r=\text{ord} _{s=1}L(E, s)$，则在 $L(E, s)$ 的黎曼假设下，对所有不在有限对数测度集内的 $x$，有 $\prod \limits _{p \leq x} \frac{N_p}{p} \sim C (\log x)^r$。作为推论，我们不仅恢复了 Goldfeld 的结果，还证明了逆方向的一个结果。我们的证明方法基于建立 $L(E, s)$ 在临界带右半部分的部分欧拉乘积的渐近行为。