欧拉乘积之和与椭圆曲线的统计

我们给出与有限域 $\mathbb{F}_p$ 上椭圆曲线统计相关的若干结果，作为我们所证明的关于欧拉乘积平均的一个一般定理的推论。在这一通用框架中，我们可重新证明已知结果，如平均 Lang-Trotter 猜想、平均 Koblitz 猜想以及垂直 Sato-Tate 猜想，即便对于先前方法无法触及的极短区间也成立。我们还计算了新问题的统计，例如由 Silverman 和 Stange 首次引入的亲和数对与真因子循环问题。我们的技术相当灵活，应可轻易应用于广泛范围的类似问题。我们结果的起点是 Gekeler 的一个定理，其用涉及随机矩阵的欧拉乘积给出了 Deuring 定理的重新解释，从而在（猜想的）水平分布与垂直分布之间建立了直接联系。我们的主要技术结果随后表明，在特定条件下，欧拉乘积的加权平均渐近于平均因子的欧拉乘积。