代数群中的均匀和-积现象与 Bremner 猜想

本文结合 additive 组合和 Diophantine 几何的方法，研究代数群中的广义和-积现象。作为这一思路的一个应用，我们解决了 Bremner 关于椭圆曲线坐标中的算术数列的猜想，以及文献中研究的各种其他推广。我们还证明了一般 $1$ 维代数群 $G$ 关于 $\mathbb{C}$ 的 uniform Bourgain--Chang 类型和-积估计。利用这些思想，我们为 Bays--Breuillard 的一个问题提供了一个备选解决方案。此外，我们在同一设置下证明了一个 Elekes--Szab\'{o} 类型结果，适用于 small doubling 的集合，改进了 Bays--Breuillard 当 $G$ 不为 $\mathbb{G}_a$ 时的早期结果。我们这里的 power saving 可以证明在定量上是最优的。我们使用 David--Philippon、Laurent 和 Evertse--Schmidt--Schlickewei 等经典深刻结果，以及 Gowers--Green--Manners--Tao 关于 integers 上的 weak Polynomial Freiman--Ruzsa 猜想的最近突破性工作。