关于椭圆曲线在环类域上 Selmer 群的消失

设 $E$ 为一条导子为 $N$ 且无复乘的有理椭圆曲线，$K$ 为判别式 $D$ 与 $N$ 互素的虚二次域。假设整除 $N$ 且在 $K$ 中惯性的素数个数为奇数，令 $H$ 为 $K$ 的导子为 $c$（与 $ND$ 互素）的环类域，其相对于 $K$ 的 Galois 群为 $G$。固定 $G$ 的一个复特征标 $\chi$。我们的主要结果是：若 $E/K$ 的 $\chi$-扭曲 $L$-函数的特殊值非零，则对于除有限多个素数 $p$ 外的所有素数，$E/H$ 的 $p$-Selmer 群与 $W$ 关于 $\mathbb{Z}[G]$ 的张量积（相对于 $\chi$）为零，其中 $W$ 是包含 $\chi$ 值的 $\mathbb{Z}_p$ 的适当有限扩张。我们的工作将 Bertolini 和 Darmon 的结果推广到了几乎所有非普通素数 $p$，并在解析秩为零的情形下，为 $E$ 在 $H$ 上的 $\chi$-扭曲版 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想（Bertolini 和 Darmon）以及 $E/K$ 的 $p$-Selmer 群对几乎所有 $p$ 的消失（Kolyvagin）提供了替代证明。