Dedekind 和数论群上的 $L(1,\chi)$ 的二次均值

已知关于模 $f>2$ 的奇 Dirichlet 字符相关的 Dirichlet $L$ 函数在 $s=1$ 处的二次均值值有显式公式。本文给出一种情形，其中我们能够为模为非必需为素数 $f>2$ 且在乘法群 $({\mathbb Z}/f{\mathbb Z})^*$ 的某个子群 $H$ 上平凡的奇 Dirichlet 字符相关的 Dirichlet $L$ 函数在 $s=1$ 处的二次均值值证明显式公式。该显式公式涉及对 $H$ 中各 $h$ 的 Dedekind 和 $s(h,f)$ 求和 $S(H,f)$。已知关于当计算 $S(H,f)$ 时分母的某些消去性质。本文中，我们证明对于某些显式 $f$ 和 $H$ 的族，这一已知的分母消去结果是可以期望的最佳结果。最后，我们惊讶地证明对于素数 $p$, $m\geq 2$ 和 $1\leq n\leq m/2$, Dedekind 和 $s(h,p^m)$ 的值随着 $h$ 在乘法循环群 $({\mathbb Z}/p^m{\mathbb Z})^*$ 中阶为 $p^n$ 的元素范围而不依赖于 $h$。