关于戴德金和的值

令 $S(a,b)=12s(a,b)$，其中 $s(a,b)$ 表示经典戴德金和。对于给定的分母 $q\in \mathbb N$，我们研究戴德金和 $S(a,b)$ 的值 $k/q$（$(k,q)=1$）的分子 $k\in\mathbb Z$。我们的主要结果表明，如果 $k$ 是这样的分子，则 $k$ 模 $(q^2-1)q$ 的整个剩余类均由此类分子组成。这一事实将寻找所有可能分子 $k$ 的任务简化为寻找模 $(q^2-1)q$ 的有限多个剩余类的代表元。借助该结果的证明，我们确定了 $2\le q\le 50$ 的所有可能分子 $k$，其中 $q=1$ 的情况是平凡的。这一搜索的结果提出了一个关于任意 $q\in\mathbb N$ 的戴德金和 $S(a,b)$ 的所有可能值 $k/q$（$(k,q)=1$）的猜想。