带符号调和级数的小值与乘性函数的对数平均

对于任意足够稠密的子集 $\mathcal{A}\subset\mathbb{N}$，我们构造了具有带符号调和级数小值的序列 $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\in\{-1,1\}^{\mathbb{N}}$：$$\sum_{n\in\mathcal{A}\cap[1,N]}\frac{a_n}{n},$$ 我们应用这些方法进一步构造了具有异常小对数部分和的完全乘性函数 $f:\mathbb{N}\to\{-1,1\}$，即对无穷多个 $N\to\infty$ 成立 $$\sum_{n \leq N}\frac{f(n)}{n} \ll \exp\left(-c_0 \frac{N^{1/3}}{(\log N)^{1/3}} \right).$$ 证明结合了对 $\mathbb{N}$ 子集上随机调和级数小尺度分布的仔细分析，以及受整数“解剖”启发的确定性归纳论证。