在两组非零平方和上可加的乘性函数

设 $f$ 为一个乘性函数，对正整数 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 满足 $$f(a^2+b^2+c^2+d^2) = f(a^2+b^2)+f(c^2+d^2)$$。我们证明：若 $f(3)\,f(11) \ne 0$，则 $f$ 为恒等函数；否则，对所有 $n \ge 2$ 除 $n=3,9,11$ 外有 $f(n)=0$。