关于在正整数立方上可加的乘性函数

设 $k \geq 3$。若乘性函数 $f$ 对所有 $a_1, a_2, \ldots, a_k \in \mathbb{N}$ 满足 $$f(a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_k^3) = f(a_1^3) + f(a_2^3) + \cdots + f(a_k^3)$$，则 $f$ 为恒等函数。正整数立方集被称为乘性函数的 $k$-加性唯一集。但是，$k=2$ 时的条件可被无穷多个乘性函数满足。此外，若 $k \geq 3$ 且乘性函数 $g$ 对所有 $a_1, a_2, \ldots, a_k \in \mathbb{N}$ 满足 $$g(a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_k^3) = g(a_1)^3 + g(a_2)^3 + \cdots + g(a_k)^3$$，则 $g$ 为恒等函数。然而，当 $k=2$ 时，存在三种不同类型的乘性函数。