平方数集合对乘法函数的 $k$-加性唯一性

P. V. Chung 证明了存在许多乘法函数 $f$ 满足 $f(m^2+n^2) = f(m^2)+f(n^2)$，对所有正整数 $m$ 和 $n$ 成立。在本文中，我们证明了如果在加性条件中涉及多于 $2$ 个平方数，则这样的 $f$ 是唯一确定的。即，如果一个乘法函数 $f$ 满足 $$f(a_1^2 + a_2^2 + \dotsb + a_k^2) = f(a_1^2) + f(a_2^2) + \dotsb + f(a_k^2)$$ 对任意正整数 $a_i$ 成立，那么 $f$ 是恒等函数。在这个意义上，我们称所有正平方数的集合为乘法函数的 \emph{$k$-加性唯一性集合}。