$\mathtt{PRIMES}-1$ 对乘性函数的加性唯一性

设 $\mathtt{PRIMES}$ 为所有素数的集合。我们证明，满足 $$f(p+q-2) = f(p) + f(q) - f(2) \text{ for }p,q \in \mathtt{PRIMES}$$ 的乘性函数为以下三者之一： \begin{enumerate} \item $f$ 为恒等函数 \item $f$ 为常值函数且 $f(n)=1$ \item 当 $n \ge2$ 时 $f(n)=0$，除非 $n$ 为奇数且具有高次幂。 \end{enumerate} 作为推论，满足 $$f(a+b) = f(a) + f(b) \text{ for }a,b \in \mathtt{PRIMES}-1$$ 的乘性函数为恒等函数。