关于 $q$-准加性和 $q$-准乘性函数

在本文中，我们引入了算术函数的 $q$-准加性概念，以及相关的 $q$-准乘性概念，它们分别推广了强 $q$-加性和强 $q$-乘性。我们展示了这些概念存在许多自然实例，其特征由形式为 $f(q^{k+r}a + b) = f(a) + f(b)$ 或 $f(q^{k+r}a + b) = f(a) f(b)$ 的函数方程刻画，其中对所有 $b < q^k$ 且 $r$ 为固定参数成立。除了 $q$-准加性和 $q$-准乘性函数的一些基本性质外，我们还证明了针对 $q$-正则函数这一特殊类的 $q$-准加性和 $q$-准乘性的刻画。最终的主要结果提供了一个通用的中心极限定理，其推论涵盖了经典和新颖的实例。