四元四次型的高效平方和非负性证明

对于任意4变量四次型$f\geq 0$（即$f$为非负、实系数四次齐次多项式），存在二次型$q$和$q'$使得$qq'f$是四次型的平方和（s.o.s.），这是通过归约到$f=au^2+2bu+c$的情形，其中$a$、$b$、$c$分别为2、3、4次的3变量型，并借助Hilbert (1893) 定理对其判别式$\Delta=ac-b^2$断言：对于任意三元六次型$h\geq 0$，存在二次型$q''$使得$q''h$为四次型的平方和。为判定是否仅一个$q$总足以使$qf$为平方和，我们给出显式例子：非平方和的$f=au^2+2bu+c\geq 0$且具有非平方和的$\Delta$。然而，在所有这些例子中$af$均为平方和。也就是说，经由Hilbert (1893) 的直接平方和分解未必是最佳可能的。尽管一个$q$是否总足够（我们猜想$q=a$足够）仍未解决，我们描述了此类$q$的存在性与$\Delta$的特定类型平方和分解的关系。