半正定与平方和双二次多项式

希尔伯特在1888年证明，三个变量的半正定（PSD）齐次四次多项式总可以表示为三个二次多项式的平方和（SOS），而四个变量的psd齐次四次多项式可能不是sos。直到87年后的1975年，Choi才给出了这样一个四个变量的psd-not-sos（PNS）齐次四次多项式的显式表达式。一个$m \times n$双二次多项式是一个$m+n$个变量的齐次四次多项式。在本文中，我们证明一个$m \times n$双二次多项式可以表示为一个$m+n-1$个变量的三方齐次四次多项式。因此，根据希尔伯特定理，一个$2 \times 2$ PSD双二次多项式可以表示为三个二次多项式的平方和。这改进了Calderón在1973年的结果，他证明了一个$2 \times 2$双二次多项式可以表示为九个二次多项式的平方和。此外，我们给出了一个$m \times n$ psd双二次多项式为sos的充要条件，并证明如果这样的多项式是sos，那么它的sos秩至多为$mn$。然后，我们分三种情况给出了一个$2 \times 2$ psd双二次多项式的sos形式的构造性证明。