半代数集上非负性证书的下降问题

设 $F$ 为 $\mathbb R$ 的子域，设 $K$ 为 $\mathbb R$ 中的一个基本封闭半代数集，且 $\partial K\subset F$。设 $\mathcal N$ 为 $K$ 的自然选择生成器。我们证明，如果 $f\in F[x]$ 在 $K$ 上大于等于0，则 $f$ 可以写成 $$f=\sum_{e\in\{0,1\}^s } a_e\sigma_e g^e$$其中 $a_e\in F_{\geq 0}$，$\sigma_e\in \sum F[x]^2$，且 $g^{e}=g_1^{e_1} \cdots g_s^{e_s}$。换言之，$F[x]$ 的预序紧致性 $T_{\mathcal N}$ 被饱和。在 $F=\mathbb R$ 时，此结果归功于 Kuhlmann 和 Marshall。作为应用，我们证明如果 $K$ 是紧致的，则 $M_{\mathcal N}=T_{\mathcal N}=Pos(K)$。换言之，$F[x]$ 的二次模 $M_{\mathcal N}$ 被饱和。