Kostant 根的正系

设 $\mathfrak{g}$ 为单复李代数，$\mathfrak{t} \subset \mathfrak{g}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的环面子代数。作为 $\mathfrak{t}$-模，$\mathfrak{g}$ 分解为 $$\mathfrak{g} = \mathfrak{s} \oplus \big(\oplus_{\nu \in \mathcal{R}} \mathfrak{g}^\nu\big)$$ 其中 $\mathfrak{s} \subset \mathfrak{g}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的抛物子代数的约化部分，$\mathcal{R}$ 是与 $\mathfrak{t}$ 关联的 Kostant 根系。当 $\mathfrak{t}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数时，上述分解即为 $\mathfrak{g}$ 关于 $\mathfrak{t}$ 的根分解；一般而言，$\mathcal{R}$ 的性质类似于通常根系的性质。本文研究如下问题：“给定子集 $\mathcal{S} \subset \mathcal{R}$，是否存在 $\mathfrak{g}$ 的一个包含 $\mathcal{M} = \oplus_{\nu \in \mathcal{S}} \mathfrak{g}^\nu$ 且其约化部分等于 $\mathfrak{s}$ 的抛物子代数 $\mathfrak{p}$？”我们的主要结果是：对于经典单李代数 $\mathfrak{g}$ 和饱和子集 $\mathcal{S} \subset \mathcal{R}$，条件 $(\operatorname{Sym}^\cdot(\mathcal{M}))^{\mathfrak{s}} = \mathbf{C}$ 是此类 $\mathfrak{p}$ 存在的充要条件。相比之下，我们证明该结论对例外李代数 $\mathrm{F}_4, \mathrm{E}_6, \mathrm{E}_7$ 和 $\mathrm{E}_8$ 不再成立。最后，我们讨论了 $\mathcal{S}$ 非饱和时的情形。