半单李代数的约化子代数与泊松交换性

设 $\mathfrak g$ 为半单李代数，$\mathfrak h\subset\mathfrak g$ 为约化子代数，使得 $\mathfrak h^\perp$ 是 $\mathfrak g$ 的互补 $\mathfrak h$-子模。1983 年，Bogoyavlenski 声称：取由所有 $H\in{\mathcal S}(\mathfrak g)^{\mathfrak g}$ 的双齐次分量生成的子代数 ${\mathcal Z}$，可得到对称代数 ${\mathcal S}(\mathfrak g)$ 的泊松交换子代数。但这是错误的，我们给出一个反例。我们也给出了此类子代数 ${\mathcal Z}$ 的泊松交换性判据。作为副产品，我们证明当 $\mathfrak h$ 为交换时 ${\mathcal Z}$ 是泊松交换的，并描述了 $\mathfrak h$ 为 Cartan 子代数时的 ${\mathcal Z}$。在此情形下，${\mathcal Z}$ 表现为多项式的，且具有极大超越次数 $(\mathrm{dim}\,\mathfrak g+\mathrm{rk}\,\mathfrak g)/2$。