与对合相关的 $S(\mathfrak g)$ 的泊松交换子代数

约化李代数 $\mathfrak g$ 的对称代数 $S(\mathfrak g)$ 配备有标准泊松结构，即李-泊松括号。$S(\mathfrak g)$ 的泊松交换子代数备受关注，因为它们与可积系统以及近来与几何表示论有关联。泊松交换子代数 ${\mathcal C}\subset S(\mathfrak g)$ 的超越次数被 $\mathfrak g$ 的“幻数” $\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$ 所界定。Mishchenko-Fomenko 的“参数平移法”基本上是唯一已知的产生满足 ${\rm trdeg\,}{\mathcal C}=\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$ 的 $\mathcal C$ 的来源。我们引入一种本质上不同的构造，其与对称分解 $\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$ 相关。给出了具有最大可能超越次数的泊松交换子代数 $\mathcal Z,\tilde{\mathcal Z}\subset S(\mathfrak g)^{\mathfrak g_0}$。若 $\mathbb Z_2$-收缩 $\mathfrak g_0\ltimes\mathfrak g_1^{\sf ab}$ 具有多项式型对称不变量环，则 $\tilde{\mathcal Z}$ 是 $S(\mathfrak g)^{\mathfrak g_0}$ 的一个多项式型极大泊松交换子代数，并且其自由生成元被明确描述。