反支配移位 Yangian 中的 Bethe 子代数

简单复李群 $G$ 的环群 $G((z^{-1}))$ 具有自然的泊松结构。我们引入依赖于参数 $C\in G$ 的泊松交换子代数自然族 $\overline{{\mathbf{B}}}(C) \subset \mathcal{O}(G((z^{-1}))$，称为经典通用 Bethe 子代数。对极大环面 $T \subset G$ 的每一个反支配余特征标 $\mu$，可关联到 $G((z^{-1}))$ 的闭泊松子空间 $\mathcal{W}_\mu$（泊松代数 $\mathcal{O}(\mathcal{W}_\mu)$ 是所谓移位 Yangian $Y_\mu(\mathfrak{g})$ 的经典极限）。我们考虑 $\overline{{\mathbf{B}}}(C)$ 在 $\mathcal{O}(\mathcal{W}_\mu)$ 中的像，记为 $\overline{B}_\mu(C)$，应被视为移位 Yangian 中（尚未一般定义）Bethe 子代数的经典版本。对中心化 $\mu$ 的正则 $C$，我们计算了这些子代数的 Poincaré 级数。对 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_n$，我们定义了 $\mathcal{O}(\operatorname{Mat}_n((z^{-1}))))$ 的自然量子化 ${\mathbf{Y}}^{\mathrm{rtt}}(\mathfrak{gl}_n)$ 以及通用 Bethe 子代数 ${\mathbf{B}}(C) \subset {\mathbf{Y}}^{\mathrm{rtt}}(\mathfrak{gl}_n)$。利用 $Y_\mu(\mathfrak{gl}_n)$ 的 RTT 实现（由 Frassek、Pestun 和 Tsymbaliuk 提出），我们得到自然满射 ${\mathbf{Y}}^{\mathrm{rtt}}(\mathfrak{gl}_n) \twoheadrightarrow Y_\mu(\mathfrak{gl}_n)$，其量子化了嵌入 $\mathcal{W}_\mu \subset \operatorname{Mat}_n((z^{-1}))$）。取 ${\mathbf{B}}(C)$ 在 $Y_\mu(\mathfrak{gl}_n)$ 中的像，我们恢复了由 Frassek、Pestun 和 Tsymbaliuk 提出的 Bethe 子代数 $B_\mu(C) \subset Y_\mu(\mathfrak{gl}_n)$。