关于 Yangian 中 Bethe 子代数的经典极限

简单李代数 $\mathfrak{g}$ 的 Yangian $Y(\mathfrak{g})$ 可视为两个不同 Hopf 代数的形变：泛包络代数 $U(\mathfrak{g}[t])$ 与第一个同余子群的坐标环 $\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$。这两个代数均由 Yangian 通过对适当滤子的相伴分次得到。Bethe 子代数构成一族依赖于伴随群 $G$ 中群元 $C$ 的自然交换子代数。这些代数在基本表示张量积中的像给出了量子 XXX Heisenberg 磁链的所有积分。我们描述了对于所有半单 $C\in G$，Bethe 子代数作为 $U(\mathfrak{g}[t])$ 与 $\mathcal{O}(G_1[[t^{-1}]])$ 中子代数的相伴分次。我们证明分配给 $G$ 单位元的 Bethe 子代数在 $U(\mathfrak{g}[t])$ 中的相伴分次是 $U(\mathfrak{g}[t])$ 的泛 Gaudin 子代数，它来自相应仿射 Kac-Moody 代数在临界能级处的中心。这将 Talalaev 关于泛 Gaudin 子代数生成元的公式推广到任意类型的 $\mathfrak{g}$。特别地，这表明 Gaudin 磁链的高阶哈密顿量可在不借助临界能级处 Feigin-Frenkel 中心的情况下被量子化。利用我们关于 Bethe 子代数相伴分次的一般结果，我们计算了对应于正则半单 $C\in G$ 的某些 Bethe 子代数极限，当 $C$ 趋于非正则半单群元 $C_0$ 时。我们证明该极限是较小 Bethe 子代数与 $\mathfrak{g}$ 中 $C_0$ 中心化子的泛包络代数中量子变元平移子代数的乘积。这推广了 Nazarov-Olshansky 对 Vinberg 关于变元平移子代数量子化问题的解答。