杨氏代数 $Y(\mathfrak{gl}_2)$ 中 Bethe 子代数的谱单性

我们考虑杨氏代数 $Y(\mathfrak{gl}_2)$ 中带有正则 $2\times 2$ 矩阵 $C$ 的 Bethe 子代数 B(C)。我们研究 $Y(\mathfrak{gl}_2)$ 的 Bethe 子代数在 $Y(\mathfrak{gl}_2)$ 的有限维表示上的作用。我们证明，具有实对角 $C$ 的 $B(C)$ 在对应于实弦不相交并的任意不可约 $Y(\mathfrak{gl}_2)$-模上具有单谱。我们将此结果推广到 Bethe 代数的极限。我们的主要工具是计算 $B(C)$ 的幂零退化上的 Shapovalov 型行列式。