单代数群不可约表示中非正则元素的谱

我们研究单代数群不可约表示中非正则半单元素的谱。更确切地说，我们证明：若 $G$ 是单连通单线性代数群，$f$ 是 $G$ 在某一 $\mathrm{GL}(V)$ 中的非平凡不可约表示，且存在一个非正则非中心半单元素 $s\in G$ 使得 $f(s)$ 具有几乎单谱，则除少数例外外，$G$ 为经典型且 $\dim V$ 取最小可能值。这里，可对角化矩阵的谱称为单谱，若所有特征值重数均为 1；称为几乎单谱，若至多一个特征值重数大于 1。这给出了经典代数群的自然表示（直至其 Frobenius 扭）在半单元素行为方面的一种刻画。