经典李（超）代数上可酉化模的 Bethe 代数与对偶性

设 $\mathfrak{g}$ 表示经典李代数 $\mathfrak{gl}_d$、$\mathfrak{sp}_{2d}$ 或 $\mathfrak{so}_{2d}$，并带有固定的 $*$-结构 $\sigma$。设 $M_1, \ldots, M_\ell$ 为（关于 $\sigma$ 的）可酉化 $\mathfrak{g}$-模，且设 ${\bf z}=(z_1, \ldots, z_\ell) \in \mathbb{C}^\ell$。我们研究了 $\mathfrak{g}$ 关于 $\mu \in \mathfrak{g}^*$ 的 Bethe 代数 $\mathcal{B}_{\mathfrak{g}}^\mu$ 在赋值 $\mathfrak{g}[t]$-模的张量积 $\underline{M}({\bf z}):=M_1(z_1) \otimes \cdots \otimes M_\ell(z_\ell)$ 上的作用。我们证明，如果 $\mu \circ \sigma$ 等于 $\mu$ 的复共轭，那么对于 ${\bf z} \in \mathbb{R}^\ell$，$\mathcal{B}_{\mathfrak{g}}^\mu$ 在 $\underline{M}({\bf z})$ 的任何有限维 $\mathcal{B}_{\mathfrak{g}}^\mu$-子模上都是可对角化的。这一点连同由 Bethe 代数对偶性导出的结果（见下文）表明，$\mathcal{B}_{\mathfrak{g}}^\mu$ 的简单谱猜想应该成立。我们建立了一般线性李（超）代数 $\mathfrak{gl}_d$ 和 $\mathfrak{gl}_{p+m|q+n}$ 的 Bethe 代数对偶性。作为应用，我们证明在一般条件下，$\mathfrak{gl}_{p+m|q+n}$ 关于 ${\bf z} \in \mathbb{C}^{p+q+m+n}$ 的 Bethe 代数在 $L_1(w_1) \otimes \cdots \otimes L_d(w_d)$ 的任何权空间上都是可对角化的且具有简单谱，其中 $L_i$ 是对应于深度为 1 的广义分区的（无限维）可酉化最高权 $\mathfrak{gl}_{p+m|q+n}$-模，且 $w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{C}$。通过令 $q=n=0$，我们也得到了 $\mathfrak{gl}_{p+m}$ 的相应结果。