Gaudin Bethe Ansatz 猜想的一个证明

Gaudin 代数是 $U(\mathfrak{g})^{\otimes N}$ 中的交换子代数，由附属于一个半单李代数 $\mathfrak{g}$ 的量子 Gaudin 磁链的高阶积分生成。该代数依赖于一组两两不同的复数 $z_1,\ldots,z_N$。我们证明，对于参数 $z_1,\ldots,z_N$ 的所有取值，该子代数在任意有限维不可约 $\mathfrak{g}$-模的张量积的奇异向量空间中具有一个循环向量。由此结果我们推导出 Feigin-Frenkel 形式的 Bethe Ansatz 猜想，该猜想断言：不可约有限维 $\mathfrak{g}$-模的张量积上高阶 Gaudin Hamiltonians 的联合特征值与射影直线上在点 $z_1,\ldots,z_N,\infty$ 处具有正则奇性且在奇点处具有指定留数的无单值性 ${}^LG$-opers 之间存在一一对应。