Affine Yangians 作为量子圆柱代数极限

我们在所有未弯曲 affine Kac-Moody Lie 代数上建立了 quantum toroidal algebras 与 untwisted affine Yangians 之间的 degeneration isomorphism。具体而言，我们证明了 affine Yangian $Y_\hbar(\mathfrak{g})$ 作为 $\mathbb{C}[\hbar]$-algebra 同构于 quantum toroidal algebra $U_\hbar(\mathfrak{g}^{\mathrm{tor}})$ 的 associated graded algebra, 其相对于 canonical filtration。此结果构成了 affine Yangians 与 quantum loop algebras 关系的 affine 类 Drinfeld's conjecture, 该 conjecture 在 finite-dimensional setting 中由 Gautam--Toledano Laredo 和 Guay--Ma 以及 Guay--Ma 之前已在 finite-dimensional setting 中由 Gautam--Toledano Laredo 证明。作为这个同构的两个 fundamental 应用，我们导出了 affine Yangians 的两个基本结构属性：一个 $Y_\hbar(\mathfrak{g})$ 的 Poincaré--Birkhoff--Witt (PBW) 基，以及其 classical limit 作为 polynomial current Lie algebra 的 universal enveloping algebra $U(\mathfrak{g}[u])$ 的 identification。一个关键要素是我们独有的 $U_\hbar(\mathfrak{g}^{\mathrm{tor}})$ 的 PBW 基构造，这依赖于 quantum toroidal algebra 的一种 new torsion-freeness argument 以及 topological Nakayama lemma。