扭曲量子仿射化与扩张仿射李代数的量子化

在本文中，对于任意 Kac-Moody 李代数 $\mathfrak g$ 以及满足某些自然连接条件的 $\mathfrak g$ 的图自同构 $\mu$，我们引入并研究了 $\mathfrak g$ 的 $\mu$-扭曲量子仿射化代数 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$。当 $\mathfrak g$ 为有限型时，$\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$ 是 Drinfeld 的扭曲量子仿射代数的当前代数实现。当 $\mu=\mathrm{id}$ 且 $\mathfrak g$ 为仿射型时，$\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$ 是 Ginzburg、Kapranov 和 Vasserot 引入的量子环面代数。作为本文的主要结果，我们首先证明了 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$ 的三角分解。其次，我们用“正规序乘积”给出了限制在 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$-模上的仿射量子 Serre 关系的简单刻画。第三，我们证明了限制在 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$-模的范畴是一个幺半范畴，从而在 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$ 的“限制完备化”上获得了一个拓扑 Hopf 代数结构。最后，我们研究了 $\mathcal U_\hbar\left(\hat{\mathfrak g}_\mu\right)$ 的经典极限，并将其纳入扩张仿射李代数的量子化理论。特别地，基于 Allison-Berman-Pianzola 的一个分类结果，我们获得了所有零度 $2$ 扩张仿射李代数的 $\hbar$-形变。