Bethe 子空间与toric arrangement的精彩模型

我们研究了由 Toledano Laredo 引入的根系 $\Phi$ 上正切 holonomy Lie 代数 $t^{\mathrm{trig}}_{\Phi}$ 中的共轭子空间。我们称这些子空间为Bethe子空间，因为它们可以被视为对应于根系 $\Phi$ 的Yangian中Bethe子代数的二次组成部分，而Bethe子代数负责广义XXX Heisenberg 自旋链的积分。Bethe子空间天然由对应的toric arrangement 的补集参数化。我们证明了这一族可以定期地扩展到Toledano 和 Gaiffi 描述的toric arrangement的最小精彩模型 $X_{\Phi}$，从而给出Bethe子空间参数空间的紧致化。对于经典类型 $A_n, B_n, C_n, D_n$，我们展示了这一扩展是忠实的。作为一个特殊情况，当 $\Phi$ 为类型 $A_n$ 时，我们的构造与 Aguirre--Felder--Veselov 对二次Gaudin子代数集合闭包的主要结果一致。我们的工作也与J. Peters 获得的更一般toric arrangement的紧致化结果密切相关，这些toric arrangement源自量子乘法在 hypertoric variety 中的应用。接下来，我们表明Bethe子空间组成了一个位于 $X_{\Phi}$ 上的向量束，我们将其识别为 $X_{\Phi}$ 的对数切向束。最后，我们提出了将这些结果扩展到Yangian中Bethe子代数以及Springer分解的量子流形环的设想。我们计划在下一篇论文中予以解决。