与 2-分裂相容的泊松括号及 $\mathcal S(\mathfrak g)$ 的泊松交换子代数

设 ${\mathcal S}(\mathfrak g)$ 为约化李代数 $\mathfrak g$ 的对称代数，并赋予标准泊松结构。若 ${\mathcal C}\subset\mathcal S(\mathfrak g)$ 是一个泊松交换子代数，则 ${\rm trdeg\,}{\mathcal C}\le\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$，其中 $\boldsymbol{b}(\mathfrak g)=(\dim\mathfrak g+{\rm rk}\mathfrak g)/2$。我们给出一种通过向量空间分解 $\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak r$（分解为两个球面子代数的直和）来构造超越次数为 $\boldsymbol{b}(\mathfrak g)$ 的泊松交换子代数 $\mathcal Z_{\langle\mathfrak h,\mathfrak r\rangle}$ 的方法。存在一些自然例子，其中代数 $\mathcal Z_{\langle\mathfrak h,\mathfrak r\rangle}$ 表现为多项式代数。最有趣的情形与对 $(\mathfrak b,\mathfrak u_-)$ 相关，其中 $\mathfrak b$ 是 $\mathfrak g$ 的 Borel 子代数。此处我们证明 ${\mathcal Z}_{\langle\mathbb b,\mathbb u_-\rangle}$ 是极大泊松交换的，并且在 $\mathfrak g^*$ 的每个正则余伴随轨道上完备。其他例子系列与同 $\mathfrak g$ 的对合相关的分解有关。