半代数集在连续半代数映射下闭性的稳定性

给定闭半代数集 $X \subset \mathbb{R}^n$ 与连续半代数映射 $G \colon X \to \mathbb{R}^m,$ 我们将证明存在 $L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$（从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的所有线性映射的空间）的一个开稠密半代数子集 $\mathscr{U},$ 使得对所有 $F \in \mathscr{U},$ 像 $(F + G)(X)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的闭（半代数）集。为此，我们研究无穷远切锥 $C_\infty X$ 与 $X$ 的无穷远（单位）例外方向集 $E_\infty X \subset C_\infty X$。具体地，我们证明集合 $E_\infty X$ 在 $C_\infty X \cap \mathbb{S}^{n - 1}$ 中无处稠密。