局部紧流形中的万有无处稠密子集

在每个以有限维或无限维立方体 $[0,1]^n$ 为模型的流形 $M$ 中，我们构造了一个闭的无处稠密子集 $S\subset M$（称为海绵集），它是 $M$ 中的一个万有无处稠密集，其含义是：对于 $M$ 中的每个无处稠密子集 $A\subset M$，存在一个同胚 $h:M\to M$ 使得 $h(A)\subset S$。构造海绵集的关键工具是一个关于流形某些分解的拓扑等价性定理。该定理的一个特例表明：若 Hilbert 立方体流形 $M$ 的两个消失胞腔强可收缩分解 $\mathcal A,\mathcal B$ 满足其中任意两个非单点元素 $A\in\mathcal A$ 与 $B\in\mathcal B$ 均环境同胚，则这两个分解拓扑等价。