某些非紧黎曼流形上闭测地线的存在性

设 $M$ 为完备黎曼流形。假设 $M$ 包含一个有界、凹、连通开集 $U$,其边界为 $C^0$ 类且 $M\setminus U$ 连通。我们假定相对同伦集 $\pi_1(M,M\setminus U)=0$,或同态 $\pi_1(M\setminus U)\rightarrow \pi_1(M)$(由包含映射 $M\setminus U\hookrightarrow M$ 诱导)像的所有共轭子群的并是 $\pi_1(M)$ 的真子集。(第一个条件等价于 $\pi_1(M\setminus U)\rightarrow \pi_1(M)$ 为满射;若相对同调群 $H_1(M,M\setminus U)\neq 0$ 则满足第二个条件。)则 $M$ 上存在非平凡闭测地线。这部分证明了 Chambers、Liokumovich、Nabutovsky 与 Rotman 的一个猜想。