半黎曼群中的 CMC 超曲面

本文研究了李代数 $\mathfrak g$ 且指数为 0 或 1 的半黎曼群 $G$ 中连通定向常平均曲率 (cmc) 黎曼超曲面 $M$ 的几何性质。若 $G$ 为黎曼群且 $M$ 紧致并与 $\mathfrak g$ 中某元素横截，我们证明 $M$ 是 $G$ 中某个闭嵌入李子群的旁系类；若 $G$ 为洛伦兹群，只要 $M$ 具有足够大的平均曲率，该结论同样成立。若 $G$ 为黎曼半单群且 $M$ 紧致，我们证明 $M$ 具有退化高斯映射且最小相对零度至少为 1。我们还将上述结果推广至 $M$ 完备非紧致的情形。对于黎曼群 $G$，我们证明极小超曲面 $M$ 要么与 $\mathfrak g$ 中某元素横截（从而稳定），要么具有退化高斯映射且最小相对零度至少为 1；对于与 $\mathfrak g$ 中某元素横截的 cmc 超曲面 $M$，若要求浸入是适当的且具有有界第二基本形式，则在对应高斯映射的大小满足特定增长条件时，$M$ 也是 $G$ 中某个闭嵌入李子群的旁系类。最后，对于截面曲率在洛伦兹平面上有上界的洛伦兹群 $G$，我们推广了 Y. Xin 的结果，证明若完备超曲面 $M$ 与 $\mathfrak g$ 中的类时元素横截、具有足够大的平均曲率且有界双曲高斯映射，则 $M$ 是全脐的。