弯曲伪黎曼流形中的图形 Bernstein 结果

我们将 Albujer 和 Alías 关于弯曲洛伦兹积 3-流形 $\Sigma_1\times \mathbb{R}$ 中极大曲面的 Bernstein 型结果推广到更高维数和余维数。考虑 $M$ 为由两个黎曼流形 $(\Sigma_1^m, g_1)$ 和 $(\Sigma^n_2, g_2)$ 之间的映射 $f: \Sigma_1\to \Sigma_2$ 定义的、具有平行平均曲率的完备类空图形子流形，其截面曲率分别为 $K_1$ 和 $K_2$。我们在 $\Sigma_1\times \Sigma_2$ 上取伪黎曼积度量 $g_1-g_2$。在曲率条件 $\mathrm{Ricci}_1 \geq 0$ 且 $K_1\geq K_2$ 下，我们证明：若 $M$ 的第二基本形式满足可积性条件，则 $M$ 是全测地的；若在某点 $p$ 处 $\mathrm{Ricci}_1(p)>0$，则 $M$ 是一个切片。对于有界的 $K_1$、$K_2$ 和双曲角 $\theta$，我们得出 $M$ 必须是极大的。若 $M$ 是极大曲面且 $K_1\geq K_2^+$，我们证明无需额外假设 $M$ 即为全测地的。此外，若在某点 $p\in \Sigma_1$ 处 $K_1(p)> 0$，则 $M$ 是切片；若 $\Sigma_1$ 是平坦的且在点 $f(p)$ 处 $K_2<0$，则 $f$ 的像位于 $\Sigma_2$ 的一条测地线上。