Lorentzian 积空间中极大曲面的 Calabi-Bernstein 结果

本文对浸入到形如 $M^2\times\mathbb{R}_1$ 的 Lorentzian 积空间中的极大曲面建立了新的 Calabi-Bernstein 结果，其中 $M^2$ 为连通的 Riemannian 曲面，且 $M^2\times\mathbb{R}_1$ 赋予了 Lorentzian 度量 $<,>=<,>_{M}-dt^2$。特别地，当 $M$ 为具有非负 Gaussian 曲率 $K_M$ 的 Riemannian 曲面时，我们证明了 $M^2\times\mathbb{R}_1$ 中的任何完备极大曲面必然是全测地的。此外，如果 $M$ 非平坦，我们得出其必然为切片 $M\times\{t_0\}$，$t_0\in\mathbb{R}$（此处“完备”按通常含义指极大曲面从环境 Lorentzian 度量诱导的 Riemannian 度量是完备的）。我们证明了，若极大曲面关于从 Riemannian 积 $M^2\times\mathbb{R}$ 诱导的度量是完备的，则同样结论成立。这使我们能够在相同的 $K_M$ 假设下，给出 $M^2\times\mathbb{R}_1$ 中整体极大图的 Calabi-Bernstein 定理的非参数版本。此外，我们还构造了反例，表明在没有 $K_M\geq 0$ 假设的情况下，我们的 Calabi-Bernstein 结果不再成立。这些反例是通过极小图与极大图之间的对偶性结果构造的。