半代数集值映射的开性、Hölder 度量正则性与 Hölder 连续性性质

给定图闭的半代数集值映射 $F \colon \mathbb{R}^n \rightrightarrows \mathbb{R}^m$，我们证明映射 $F$ 是 Hölder 度量次正则的，且以下条件等价：(i) $F$ 是从其定义域到值域的开映射且 $F$ 的值域局部闭；(ii) 映射 $F$ 是 Hölder 度量正则的；(iii) 逆映射 $F^{-1}$ 是伪 Hölder 连续的；(iv) 逆映射 $F^{-1}$ 是下伪 Hölder 连续的。通过 Robinson 法向映射公式的一个应用，得到半代数变分不等式背景下的如下结果：若解映射（作为参向量的映射）是下半连续的，则解映射是有限的且伪 Hölder 连续的。特别地，我们对 Dontchev 和 Rockafellar \cite{Dontchev1996} 文中提及的一个问题给出否定回答。作为副产品，我们证明对于从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的（不必半代数的）连续单值映射，开性与非极值性等价。该事实改进了 P\"uhn \cite{Puhl1998} 的主要结果，后者要求所论映射的凸性。