半正定形式锥与平方和锥之间的中间锥

由 $n+1$ 个变量、次数为 $2d$ 的所有半正定（PSD）实形式构成的锥 $\mathcal{P}_{n+1,2d}$（$n,d\in\mathbb{N}$）包含子锥 $\Sigma_{n+1,2d}$，后者由可表示为半次数 $d$ 的实形式平方和（SOS）的那些形式构成。1888 年，Hilbert 证明了这些锥恰好在 Hilbert 情形 $(n+1,2d)$（其中 $n+1=2$ 或 $2d=2$ 或 $(n+1,2d)=(3,4)$）下重合。为确立任意非 Hilbert 情形下严格的包含关系 $\Sigma_{n+1,2d}\subsetneq\mathcal{P}_{n+1,2d}$，可证明只需在基本非 Hilbert 情形 $(4,4)$ 和 $(3,6)$ 中验证该断言即可。本文中，我们构造了 $\Sigma_{n+1,2d}$ 与 $\mathcal{P}_{n+1,2d}$ 之间的一列中间锥。该滤列通过 Gram 矩阵方法（由 Choi、Lam 和 Reznick 提出）在包含 Veronese 簇的不可约射影簇滤列 $V_{k-n}\subsetneq \ldots \subsetneq V_n \subsetneq \ldots \subsetneq V_0$ 上诱导而出。此处，$k$ 是 $n+1$ 个变量、次数为 $d$ 的实形式向量空间的维数。通过证明 $V_0,\ldots,V_n$ 为极小次数簇，我们表明相应的中间锥与 $\Sigma_{n+1,2d}$ 重合。类似地，对于 $n=2$ 的特殊情形，$V_{n+1}$ 也是极小次数簇，且相应的中间锥也与 $\Sigma_{n+1,2d}$ 重合。我们还证明了，在 $(n+1)$ 元四次型（$n\geq 3$）与 $(n+1)$ 元六次型（$n\geq 2$）的非 Hilbert 情形下，所有其余锥包含关系均为严格。